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Anwendungen der Integralrechnung

From BluWiki

Gliederung

1. Einleitung

2. �bungsaufgaben


Anmerkung : die Zeichenkombination ^3 soll hoch 3 hei�en z.B. 3x^3 = 3 x hoch 3

Einleitung

Das bestimmte Integral dient dazu den Fl�cheninhalt zu berechnen, der unter eine Graph liegt. Das Berechnen des Fl�cheninhaltes l�sst sich auch in der Realit�t anwenden. Man kann den Fl�cheninhalt von z.B. kompliziert geformten Geb�uden berechnen, wenn man dem "komplizierten" Tel des Geb�udes einer Funktion zuordnen kann.

Bei der Berechnung des Fl�cheninhaltes in der Relit�t gibt es im Grunde 2 Arten bzw. Vorgehensweisen

1. Die Funktion ist gegeben. Man muss "nur" noch die Stammfunktion bilden, um den Fl�cheninhalt zu berechnen.  
2. Man muss die Funktion erst berechnen, um dann die Stammfunktion zu bilden und den Fl�cheninhalt zu berechnen. 


�bungsaufgaben

a) einfache Aufgabe

Aufgabe: Eine 6m lange Fl�che, zwischen einer verwinkelten Strasse und einem Wohnblock soll mit einer Gr�nfl�che versehen werden. Die Form

        der Strasse kommt der Gleichung der Funktion f(x)= 1/4x^3 + 1/2x^2 - 2x + 3 gleich.
        Berechne die Fl�che, die begr�nd werden soll. Wieviele Str�cher kann man pflanzen, wenn win Strauch 0,3 m^2 gro� ist. 

Funktion 3.jpg L�sung: Da die Funktion schon gebildet ist, m�ssen wir nur die Stammfunktion bilden und die Fl�che der Gr�nfl�che ausrechnen.

        F(x)= [1/16 x^4 + 1/6 x^3 - x^2 + 3x]                         Wir nehmen die Grenzen [0,6] da die Gr�nfl�che 6m lang ist. 

            = [ [1/16 (6)^4 + 1/6 (6)^3 - (6)^2 + 3(6)] - [1/16 (0)^4 + 1/6 (0)^3 - (0)^2 + 3(0)] 
            = 99 - 0 
            = 99 FE


           Nun rechnen wir die Anzahl der Str�ucher aus, die gepflanzt werden k�nnen.
           Menge = 99 m^2 / 0,3 m^2
                 = 330 St�ck
           Man kann auf dieser Gr�nfl�che 330 Str�ucher pflanzen. 

c) schwere Aufgabe

Aufgabe: Eine Sporthalle soll einmal in der Woche einmal vollst�ndig bel�ftet werden. Durch die 4 Fenster k�nnen jeweils 40 m^3 pro minute

        bel�ften. 
        
        
        Wie viel Zeit wird ben�tigt, um die ganze Halle einmal zu bel�ften ?? Das Dach hat die Form einer Parabel aus Metal !!

Funktion 1.jpg Funktion2.jpg L�sung:

        f(x)= ax^2 + c                                    
                                                         Nun berechnen wir erst einmal den Fl�cheninhalt des Daches. Als erstes ben�tigt 
                                                         man die allgemeine Formel f�r eine Parabel. 
       
       f(0)= 10                                          Danach errechnet man errechnet man die Funktionswerte, indem man in die Funktion 0 einsetzt und 10 einsetzt. Daraus ergeben sich dann alle wichtigen Werte zur Beschreibung der Gleichung f�r das Dach der Turnhalle 
       f(10)= 0 
       --> c = 10 , a = -1/10


       f(x) =  -1/10x^2 + 10 


       F(x)= -1/30x^3 + 10x                              Nun bilden wir von der Funktion die Stammfunktion, um den Fl�cheninhalt zu 
                                                         berechnen. 
           = 2 *[ [-1/30(10)^3 + 10(10)] - [-1/30(0)^3 + 10(0)] ] 
                                                        
                                                         Wir berechnen jetzt den Fl�cheninhalt der Funktion zwischen den Grenzen 0 bis  
                                                         10. Da die FUnktion in den Grenzen -10 bis 10 liegen, muss man den Fl�cheninhalt 
                                                         mal 2 nehmen. 
            
           = 2 *(1000/30 + 100) 
            
           = 133,3 m^2                           


                                                         So, die Fl�che f�r das Dach haben wir somit berechnet. Jetzt m�ssen wir "nur"   
                                                         noch die Fl�che f�r das Rechteck berechnen: Dazu benutzen wir die bekannte 
                                                         Formel a*b
           
         A = 8 m * 20 m 
            
           = 160 m^2                                     Jetzt addieren wir die beiden Fl�chen zusammen und erhalten die   
                                                         gesamte Querschnittsfl�che. 
 
         V = 160 m^2  +  133,3 m^2
    
         V = 293,3 m2 
                
                                                         Nun multiplizieren wir das Volumen mit der L�nge der Halle. 
         
         V = 293,3 m^3 * 60 m  

         V = 17600 m^3 


                                                        Im die Zeit f�r die Bel�ftung zu berechnen ben�tigen wir das Gesamtvolumen und   
                                                        das Bel�ftungsvolumen der Fenster ( 4 * 40m^3 = 160m^3)

         t= 17600m^3/160m^3 
         t= 110 min. = 1h 50 min.


         Aus dieser Rechnung ergibt sich, dass die 4 Fenster 110 min. brauchen, um die gesamte Halle zu bel�ften.

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This page was last modified on 9 March 2008, at 22:58.
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