Elementare Aufgaben
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Inhalt
1. Definiton
2. Fall 1
2.1 Allgemein
2.2 Beispiel
3. Fall 2
3.1 Allgemein
3.2 Beispiel
4. Fall 3
4.1 Allgemein
4.2 Beispiel
1. Definition:
2. Fall 1
2.1 Allgemein
[b;c].
2.2 Beispiel
Funktion:
<math> f(x) = x^2 - x + 1</math>
Intervallgrenze: I = [0;2]
<math> \int_{0}^{2} (x^2 -x+1)\, dx</math>
bestimmtes Integral bilden:
<math>=[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2+x]_{3}^{2}</math>
in die Intervallgrenzen einsetzen:
<math>= 2 \frac{2}{3}-0 </math>
Ergebnis:
<math>=2\frac{2}{3}</math> FE
3. Fall 2
3.1 Allgemein
3.2 Beispiel
Funktion:
<math> f(x) = x^3 - x </math>
Intervallgrenzen:
I = [0;2]
<math> \int_{0}^{2} (x^3 -x)\, dx</math>
bestimmtes Integral bilden:
<math>=[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{2}</math>
in Intervallgrenzen einsetzen:
<math>= 2-0</math>
Ergebnis:
<math>= 2</math>FE
4. Fall 3
4.1 Allgemein
[0;c].
4.2 Beispiel
Funktion:
<math> f(x) = \frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{2}x + 2</math>
siehe Skizze in Allgemein! Man darf nicht von 0 bis b bzw von 0 bis 3 "durchintegrieren"!!!
<math>\frac{1}{2} x^2-\frac{5}{2} x+2=0</math>
<math>x^2 - 5x + 4 = 0</math>
<math>x=2,5\frac{+}{-}\sqrt{2,25}</math>
<math>x = 1; x= 4</math>
<math> \int_{0}^{1} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x+2)\, dx</math>
<math>=[\frac{1}{6}-\frac{5}{4}x^2 +2x]_{0}^{1}</math>
in Intervallgrenze einsetzen:
<math>=\frac{11}{12}-0</math>
<math>=\frac{11}{12}</math>FE
<math> \int_{1}^{3} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x+2)\, dx</math>
<math>=[\frac{1}{6}x^3-\frac{5}{4}x^2 +2x]_{1}^{3}</math>
in Intervallgrenzen einsetzen:
<math>=-\frac{3}{4}-\frac{11}{12}</math>
<math>=-\frac{5}{3}-0</math>
<math>A = A1 + A2</math>
<math>=\frac{11}{12}-\frac{5}{3}</math>
<math>A=\frac{3}{4}</math>FE
= 31/12 = ~ 2,58 FE
